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考试科目 870高等代数 考试形式 笔试(闭卷) 考试时间 180分钟 考试总分 150分
一、总体要求
对高等代数基本概念把握准确,高等代数课程中的基本理论和基本方法,考查综合运用所学知识解决问题的能力。
二、内容
1.预备知识
(1)连加符号与连乘符号;
(2)数域的基本概念和基本性质;
(3)集合的笛卡尔积与集合上的等价关系,基本的代数系统:群.
2.矩阵
(1)矩阵的基本概念,常见的特殊矩阵;
(2)矩阵的加法、数乘、转置、乘法和求逆运算;
(3)逆矩阵的概念、性质及其若干等价刻画,逆矩阵计算的基本原理;
(4)初等变换与初等矩阵的关系,消元法求解方程组的方法,初等变换化矩阵为行简化阶梯形的方法;
(5)矩阵的常见分块运算与性质.
3.行列式
(1)行列式的递归定义,行列式定义的几何意义;
(2)行列式的各种性质;
(3)行列式的计算;
(4)行列式展开的拉普拉斯定理;
(5)伴随矩阵的概念、性质与计算,克兰姆法则求解非齐次线性方程组;
(6)矩阵秩的概念及其相关性质,矩阵的相抵标准形,分块矩阵初等变换证明矩阵秩等式与不等式.
4.n维向量空间
(1)数域上n维向量空间中的基本概念;
(2)向量组的线性组合,线性表出与线性相关性等基本概念、性质与相关定理;
(3)向量组的秩与极大无关组的基本概念;
(4)一般线性方程组解的结构,线性方程组求解的基本方法.
5.多项式
(1)多项式的基本概念,多项式的带余除法与综合除法;
(2)因式、公因式、最大公因式与最小公倍式的概念,最大公因式的基本性质及其计算;
(3)数域F上不可约多项式的基本概念、性质与定理;
(4)实系数与复系数多项式的因式分解定理;
(5)本原多项式的概念和性质,有理数域上多项式可约性与整数环上多项式可约性的关系;
(6)多项式根与系数关系的韦达定理,有理系数多项式的有理根判别方法,有理数域上不可约多项式的判别方法.
6.线性空间
(1)F-空间的各种基本概念,如线性运算、维数、基与坐标、基变换与子空间;
(2)子空间的交、和的概念、性质与定理;
(3)两个子空间直和的概念,两个子空间做成直和的若干等价刻画,多个子空间直和的概念与刻画;
(4)线性空间同构的概念与性质.
7.线性变换
(1)线性映射、线性变换的概念,性质.
(2)对给定的线性空间,经由基底线性变换与矩阵的一一对应以及运算上面的对应.能运用这种对应关系来转化问题.
(3)线性变换的特征值,特征向量;矩阵的特征值,特征向量.线性变换与矩阵的特征值特征向量之间的联系.特征值和特征向量的计算及相关证明.
(4)线性变换(矩阵)特征值,特征向量与矩阵能否相似对角化的关系.
(5)线性变换的值域和核的概念,不变子空间的概念及其与矩阵化简的关系.
(6)对偶空间的定义及性质.
8.Jordan标准形与λ-矩阵
(1)矩阵最小多项式的概念,与特征多项式和零化多项式的紧密关联,最小多项式与相似对角化的关系.
(2)幂零与半单线性变换的概念和性质,中国剩余定理及其计算.
(3)矩阵的Jordan-Chevalley分解,循环不变子空间的概念.
(4)λ-矩阵的概念和性质,相抵标准形的存在唯一性,相抵标准形的计算,不变因子组与各阶行列式因子的概念与关联.
(5)λ-矩阵相抵与矩阵相似的关系,矩阵的有理标准形的概念和计算.
(6)初等因子组的概念和性质,Jordan标准形的理论、计算及其应用.
9.欧氏空间
(1)欧氏空间的定义及性质,欧氏空间同构的意义和结论,QR分解与LU分解;
(2)欧氏空间中内积,长度,夹角,在给定基下度量矩阵的概念,Cauchy不等式的证明及应用;
(3)标准正交基的相关概念和性质,Scmidt正交化方法
(4)正交变换,正交矩阵以及标准正交基之间的关系与联系.
(5)实对称矩阵正交对角化的理论,计算以及应用.
10.二次型与双线性函数
(1)二次型及其矩阵表示,合同变换与合同矩阵,二次型的秩等概念
(2)用配方法化二次型为标准形,惯性定理,标准形和规范形,二次型及其矩阵的正定性判定与计算.
(3)用正交替换化二次型为标准形的计算.
(4)双线性函数的定义,概念及其性质.