研晟考研，专注清华北大等985/211名校考研辅导，拥有完善的服务团队，专属定制化的考研备考规划，力争实现每位学子的考研梦、名校梦。

　　一、考试性质

　　数学分析是数学硕士研究生入学初试考试的专业基础课程。

　　二、考查目标

　　根据教育部颁发的《数学分析》教学大纲的基本要求，力求反映与数学相关的硕士学位的特点，客观、准确、真实地测评考生对数学分析的掌握和运用情况，为国家培养具有良好数

学基础素质和应用能力、具有较强分析问题与解决问题能力的高层次、复合型的数学专业人才。

　　测试考生对一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论等知识掌握的程度和运用能力。要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论；掌握数学分析的基本论证方法和

常用结论；具备较熟练的演算技能和较强的逻辑推理能力及初步的应用能力。

　　三、考试形式

　　本考试为闭卷考试，满分为150分，考试时间为180分钟。

　　试卷结构：一元函数微积分学、多元函数微积分学、级数理论及其他（隐函数理论、场论等）考核的比例均约为1/3，分值均约为50分。

　　四、考试内容

　　(一)变量与函数

　　1、实数：实数的概念、性质，区间，邻域；

　　2、函数：变量，函数的定义，函数的表示法，几何特征（有界函数、单调函数、奇偶函数、周期函数），运算（四则运算、复合函数、反函数），基本初等函数，初等函数。

　　(二)极限与连续

　　1、数列极限：定义（-N语言），性质（唯一性，有界性，保号性，不等式性、迫敛性），数列极限的运算，数列极限存在的条件（单调有界准则（重要的数列极限），迫敛性法则，

柯西收敛准则）；

　　2、无穷小量与无穷大量：定义，性质，运算，阶的比较；

　　3、函数极限：概念（在一点的极限，单侧极限，在无限远处的极限，函数值趋于无穷大的情形（-,-X语言））；性质（唯一性，局部有界性，局部保号性，不等式性，迫敛性）；函

数极限存在的条件（迫敛性法则，归结原则（Heine定理），柯西收敛准则）；运算；

　　4、两个常用不等式和两个重要函数极限（，）；

　　5、连续函数：概念（在一点连续，单侧连续，在区间连续），不连续点及其分类；连续函数的性质与运算（局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、零点存在

性，介值性、一致连续性），复合函数的连续性，反函数的连续性）；初等函数的连续性。

　　（三）实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明

　　1、概念：子列，上、下确界，区间套，区间覆盖；

　　2、关于实数的基本定理：六个等价定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理）；

　　3、闭区间上连续函数性质的证明：有界性定理的证明，最值性定理的证明，零点存在定理的证明，反函数连续性定理的证明；一致连续性定理的证明。

　　（四）导数与微分

　　1、导数：来源背景，定义（在一点导数的定义、单侧导数、导函数），导数的几何意义，简单函数的导数（常数、正弦函数、对数函数、幂函数），求导法则（四则运算，反函数的

求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程所表示函数的求导法则）；

　　2、微分：定义，运算法则，简单应用；

　　3、高阶导数与高阶微分：定义，运算法则。

　　（五）微分学基本定理及导数的应用

　　1、中值定理：费马（Fermat）定理，中值定理（罗尔（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西(Cauchy)中值定理）；

　　2、泰勒公式及应用（近似计算，误差估计）；

　　3、导数的应用：函数的单调性、极值和最值，函数凸性与拐点，平面曲线的曲率，七种待定型与洛必达（L’Hospital）法则；

　　（六）不定积分

　　1、不定积分:概念，基本公式，运算法则，计算（换元积分法、分部积分法、有理函数积分法，其他类型积分）。

　　（七）定积分

　　1、定积分：来源背景，概念，函数可积的必要条件，达布上、下和，定积分存在的充要条件，可积函数类（闭区间上的连续函数，分段连续函数，单调有界函数)，定积分的性质，

定积分的计算（基本公式、换元公式、分部积分公式）；

　　2、变上限定积分：定义，性质。

　　（八）定积分的应用

　　1、定积分在几何上的应用：平面图形的面积，曲线的弧长，截面已知的立体体积，旋转体的体积，旋转曲面的面积；

　　2、定积分在物理上的应用：功、压力、引力；

　　3、微元法。

　　（九）数项级数

　　1、预备知识：上、下极限；

　　2、级数的敛散性：无穷级数收敛、发散等概念，柯西收敛原理，收敛级数的基本性质；

　　3、正项级数：定义，敛散判别（基本定理，比较判别法，柯西判别法，达朗贝尔判别法，柯西积分判别法）；

　　4、任意项级数：绝对收敛级数与条件收敛级数的概念和性质，交错级数与莱布尼兹判别法，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法。

　　（十）反常积分

　　1、反常积分：无穷限的反常积分的概念、性质，敛散判别法（柯西收敛原理，比较判别法，狄利克雷判别法、阿贝尔判别法）；无界函数的反常积分的概念、性质，敛散判别法。

　　（十一）函数项级数、幂级数

　　1、函数项级数的一致收敛性：函数项级数以及函数列的概念，函数项级数以及函数列一致收敛的概念，一致收敛判别法（柯西收敛原理，优级数判别法，狄利克雷判别法与阿贝尔判

别法）；一致收敛的函数列与函数项级数的性质（连续性，可积性，可微性）；

　　2、幂级数：阿贝尔第一、第二定理，收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性，幂级数和函数的分析性质（连续性，可积性，可微性），泰勒（Taylor）级数与几种常见的初等函

数的幂级数展开。

　　（十二）傅里叶级数

　　1、傅里叶级数：引进，三角函数系的正交性,傅里叶系数与傅里叶级数，以为周期的函数的傅里叶级数展开，以（）为周期的函数的傅里叶级数展开，奇偶函数的傅里叶级数展开，

傅里叶级数收敛定理的证明。

　　（十三）多元函数的极限与连续

　　1、平面点集：邻域，点列的极限，开集，闭集，区域，平面点集的几个基本定理；

　　2、二元函数：概念，二重极限和二次极限，连续性（连续的概念、连续函数的局部性质及有界闭区域上连续函数的整体性质）。

　　（十四）偏导数和全微分

　　1、偏导数和全微分：偏导数的概念，几何意义；全微分的概念；二元函数的连续性、可微性，偏导存在的关系；复合函数微分法（链式法则）；由方程组所确定的函数（隐函数）的

求导法；

　　2、偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；方向导数与梯度；泰勒公式。

　　（十五）极值和条件极值

　　1、极值：概念，判别（必要条件、充分条件），应用，最小二乘法；

　　2、条件极值：概念，拉格朗日乘数法，应用。

　　（十六）隐函数存在定理

　　1、隐函数：概念，存在定理；

　　2、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式。

　　（十七）含参变量积分与含参变量广义积分

　　1、含参变量的正常积分：定义，性质（连续性、可微性、可积性）；

　　2、含参变量的反常积分：定义，一致收敛的定义，一致收敛积分的判别法（柯西收敛原理、魏尔斯特拉斯判别法、阿贝尔判别法、狄立克雷判别法），一致收敛积分的性质（连续

性、可微性、可积性）；

　　3、欧拉积分：函数和函数的定义、性质。

　　（十八）重积分的计算及应用

　　1、二重积分：二重积分的概念，性质，计算（化二重积分为二次积分，换元法（极坐标变换，一般变换）；

　　2、三重积分：计算（化三重积分为三次积分,换元法（一般变换，柱面坐标变换，球面坐标变换））；

　　3、重积分的应用：立体体积，曲面的面积，物体的质心，矩，引力，转动惯量；

　　（十九）曲线积分与曲面积分

　　1、曲线积分：第一型曲线积分及第二型曲线积分的来源背景、概念、性质、应用与计算，两类曲线积分的联系；

　　2、曲面积分：第一型曲面积分及第二型曲面积分的来源背景、概念、性质、应用与计算，两类曲面积分的联系。

　　（二十）各种积分间的联系和场论初步

　　1、各种积分间的联系公式：格林（Green）公式，高斯（Gauss）公式，斯托克斯(Stokes)公式；

　　2、曲线积分与路径无关性：四个等价条件。

　　3、场论初步：场的概念，梯度，散度和旋度，保守场，哈密顿算子（算子）。