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　　考试科目代码：    考试科目名称：数学基础综合

　　一、考试内容及要点

　　复变函数部分

　　1、复数与复变函数

　　考试内容

　　复数、复平面点集以及复变函数

　　考试要点

　　(1)掌握复数及其运算、几何表示；

　　(2)了解复平面上的点集、区域、曲线、集与集之间的距离，区域的连通性等相关概念；

　　(3)掌握复变函数的极限和连续。

　　2、解析函数

　　考试内容

　　解析函数的概念与柯西——黎曼条件，初等解析函数

　　考试要点

　　(1)理解解析函数的概念，柯西-黎曼条件，函数可微与解析的充要条件；

　　(2)掌握常见的初等函数：幂函数，根式函数，指数函数，三角函数，反三角函数以及一般幂函数与一般指数函数。

　　3、复变函数积分

　　考试内容

　　复积分的概念及其简单性质，柯西积分定理，柯西积分公式，解析函数与调和函数的关系。

　　考试要点

　　(1)掌握复变函数积分的定义、基本性质以及复变函数积分的计算；

　　(2)理解掌握柯西积分定理及其推广（单连通，复连通）；

　　(3)熟练掌握柯西积分公式及其推论、解析函数的无穷可微性以及一些相关重要定理；

　　(4)了解调和函数概念，掌握解析函数与调和函数的关系。

　　4、解析函数的幂级数表示法

　　考试内容

　　复级数的基本性质，幂级数，解析函数的Taylor展式，解析函数零点孤立性和唯一性。

　　考试要点

　　(1)掌握复级数的基本性质；

　　(2)掌握Abel定理，幂级数的收敛半径求法，和函数的解析性，Taylor展开式，解析函数的级数展开举例；

　　(3)理解掌握解析函数零点的孤立性，解析函数的唯一性定理，最大模原理。

　　5、解析函数的罗朗展式与孤立奇点

　　考试内容

　　解析函数的洛朗展式，解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷点的性质，整函数和亚纯函数。

　　考试要点

　　(1)理解罗朗级数与泰勒级数之间的关系，掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式；

　　(2)掌握可去奇点、极点、本性奇点的定义及判别，理解掌握席瓦尔兹引理，毕卡定理，

　　(3)理解掌握解析函数在无穷远点邻域的性质，整函数与亚纯函数概念及其简单性质

　　6、残数理论及其应用

　　考试内容

　　留数，用留数定理计算实积分，辐角原理及其应用

　　考试要点

　　(1)掌握留数的概念，留数定理，留数的求法以及无穷远点的残数；

　　(2)熟练掌握利用留数定理计算四种主要类型实积分；

　　(3)理解对数留数，掌握辐角原理，儒歇定理及其应用。

　　空间解析几何部分

　　1、向量代数

　　考试内容

　　向量的基本运算、性质及应用。

　　考试要点

　　(1)理解向量外积和混合积的几何意义，两向量的夹角，一向量在它向量上的射影。

　　(2)掌握标架与坐标，向量的线性关系及其判定，向量的线性运算、内积、外积、混合积和二重外积。

　　2、空间的平面与直线

　　考试内容

　　平面、直线的各种形式的方程，位置关系及度量关系、平面束。

　　考试要点

　　(1)掌握平面与直线的各种形式方程的互化，点到平面的离差，平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义，直线的方向角和方向余弦，直线的射影式方程。

　　(2)平面方程与直线方程，平面束，点与平面、点与直线、平面与平面、平面与直线、直线与直线的位置关系及其判定及度量关系数值特征及其计算，两异面直线间的公垂线方程。

　　3、常见的曲面

　　考试内容

　　柱面、锥面及旋转曲面的定义与方程，五种典型的二次曲面的定义、方程、图形与性质，二次直纹曲面。

　　考试要点

　　(1)了解球面坐标和柱面坐标，用平行截割法研究曲面，双曲面的渐近锥面，作简图。

　　(2)理解曲面与曲线方程的概念，曲面与曲线的坐标式方程与参数方程的互化，空间圆的方程，曲线族生成曲面，直线与球面、平面与球面的位置关系，母线平行于坐标轴的柱面方程、锥面方程的特点，用析因式法讨

论曲面的直母线。

　　(3)掌握球面，柱面，锥面，旋转曲面，椭球面，单叶双曲面和双叶双曲面，椭圆抛物面和双曲抛物面，单叶双曲面与双曲抛物面的直母线。

　　4、二次曲面的一般理论

　　考试内容

　　空间直角坐标变换、二次曲面的中心与渐近方向、径面、切线和切平面、化简与分类及二次曲面的不变量。

　　考试要点

　　(1)了解二次曲面的的不变量，二次曲面外一点处的切锥面，二次曲面的分类

　　(2)理解二次曲面与直线的位置关系，二次曲面方程的化简，平面直角坐标变换。

　　(3)掌握空间直角坐标变换，二次曲面的渐近方向和中心，二次曲面的径面和奇向，二次曲面的主径面与主方向，二次曲面的切线和切平面。

　　常微分方程部分

　　1、常微分方程的基本概念

　　考试内容

　　常微分方程的导出及基本概念

　　考试要点

　　(1)理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念。

　　(2)掌握常微分方程定义,阶数,线性和非线性,解和隐式解，通解和特解，方程和方程组，定解条件和定解问题。

　　2、一阶微分方程的初等解法

　　考试内容

　　变量分离方程与变量变换、线性方程及常数变易法、恰当方程与积分因子、一阶隐方程与参数表示

　　考试要点

　　(1)掌握变量分离方程的解法，掌握可化为变量分离方程类型的解法，理解齐次、非齐次概念。

　　(2)熟练掌握线性方程的常数变易法。

　　(3)掌握积分因子法。

　　(4)掌握一阶隐方程和贝努利方程的解法。

　　3、一阶微分方程的解的存在定理

　　考试内容

　　解的存在唯一性定理与逐步逼近办法、解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理。

　　考试要点

　　(1)掌握Picard逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理。

　　(2)理解解的延拓，连续性，可微性，唯一性。

　　4、高阶微分方程

　　考试内容

　　线性常微分方程的一般理论、常系数线性方程的解法、高阶方程的讲解和幂级数解法。

　　考试要点

　　(1)熟悉线性微分方程的一般理论，会用常数变易法解非齐线性方程.

　　(2)掌握常系数线性方程的解法（会区分齐次与非齐次方程解之间的关系），以及欧拉方程的解法，了解拉普拉斯变换法。

　　(3)理解掌握高阶方程的降阶和幂级数解法。

　　5、线性微分方程组

　　考试内容

　　存在唯一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组。

　　考试要点

　　(1)理解存在唯一性定理、掌握线性微分方程组的一般理论。

　　(2)掌握Picard逼近方法，基解矩阵的求法，非齐线性微分方程组的常数变易公式。

　　(3)了解矩阵指数的定义及性质、掌握基解矩阵的计算公式及拉普拉斯变换的应用。

　　（4）会用消元法求解常系数线性微分方程组。

　　概率论部分

　　1、随机事件及其概率

　　考试内容

　　事件的概念及其运算，概率的概念及其性质、计算

　　考试要点

　　（1）理解随机事件的概念、概率的定义。

　　（2）掌握随机事件的运算法则、概率的性质及其应用。

　　（3）理解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式；能利用乘法公式和事件的独立性计算积（交）事件的概率；能利用全概率公式和贝叶斯公式计算有关的概率问题；理解n重独立试验及n重贝努里（Bernoulli）

试验的含义，并会利用二项概率公式计算在n重贝努里试验中，事件A恰好出现k次的概率。

　　2、随机变量及其分布

　　考试内容

　　随机变（向）量的概念、分布与数字特征、随机变量间的独立性

　　考试要点

　　（1）理解随机变（向）量的概念；掌握一般随机变（向）量、离散型随机变（向）量和连续型随机变（向）量的分布的描述方法、性质及其应用。会应用概率分布计算有关事件的概率。

　　（2）掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布的概率分布、数学期望和方差；利用切比晓夫不等式估计有关事件的概率；会求随机变量的简单函数的分布；求给定分布的其他

数字特征。

　　（3）理解随机变（向）量间的独立性，掌握其判别方法。掌握独立性的应用。

　　3、随机变（向）量的数字特征

　　考试内容

　　随机变（向）量的数字特征

　　考试要点

　　（1）理解随机变（向）量数字特征的概念；掌握离散型随机变（向）量和连续型随机变（向）量的数字特征计算方法、性质及其应用。

　　（2）掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布的概率分布、数学期望和方差；利用切比晓夫不等式估计有关事件的概率；会求随机变（向）量函数的数字特征；求给定分布的

其他数字特征。

　　4、大数定律及中心极限定理

　　考试内容

　　随机变量序列的依概率收敛、依分布收敛，大数定律、中心极限定理

　　考试要点

　　（1）理解依概率收敛、依分布收敛的概念掌握常用判别方法。

　　（2）理解大数定律、中心极限定理的概念，掌握其常用判别方法与应用，能证明给定的随机变量序列服从大数定理；掌握欣钦大数定律、马尔科夫大数定律及其应用；掌握林德伯格一列维中心极限定理（独立同分布

的中心极限定理）和德莫佛—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）及一般的独立不同分布中心极限定理及其应用。